Question

已知椭圆（a＞b＞0）经过点，其离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求O到直线距离的l最小值．

Answer

（Ⅰ）直接把点的坐标代入椭圆C的方程，再结合离心率为求出a，b，c即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）根据平行四边形的特征可得，然后利用根与系数的关系得到k与m的关系，最后根据点到直线的距离公式得到关于k的函数，进而利用函数求最值的方法求出答案即可．
【解析】
（Ⅰ）由已知，，
所以3a2=4b2，①（1分）
又点在椭圆C上，
所以，②
由①②解之，得a2=4，b2=3．
故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）当直线l有斜率时，设y=kx+m时，
则由
消去y得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，
△=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）=48（3+4k2-m2）＞0，③
设A、B、P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x，y），
则：，
由于点P在椭圆C上，所以．
从而，化简得4m2=3+4k2，经检验满足③式．
又点O到直线l的距离为：．
当且仅当k=0时等号成立，
当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，
从而P点为（-2，0），（2，0），直线l为x=±1，所以点O到直线l的距离为1，
所以点O到直线l的距离最小值为．