Question

已知每项均是正整数的数列a₁，a₂，a₃，…a₁₀₀，其中等于i的项有k_i个（i=1，2，3…），设b_j=k₁+k₂+…k_j（j=1，2，3…），
g（m）=b₁+b₂+…b_m-100m（m=1，2，3…）．
（Ⅰ）设数列k₁=40，k₂=30，k₃=20，k₄=10，k₅=…=k₁₀₀=0，求g（1），g（2），g（3），g（4）；
（II） 若 a₁，a₂，a₃，…，a₁₀₀中最大的项为50，比较g（m），g（m+1）的大小；
（Ⅲ）若a₁+a₂+…a₁₀₀=200，求函数g（m）的最小值．

Answer

（I）因为数列k1，k2，k3，k4的值已知，所以b1，b2，b3，b4由公式bj=k1+k2+…kj（j=1，2，3…）求得，所以g（1），g（2），g（3），g（4）由公式g（m）=b1+b2+…bm-100m（m=1，2，3…）求得；
（II）由题意，g（m）=b1+b2+…bm-100m，g（m+1）=b1+b2+…bm+bm+1-100（m+1），作差比较，得g（m+1）-g（m）=bm+1-100，由bj的含义，知bm+1≤100，故得g（m+1），g（m）的大小，又a1，a2，a3，…，a100中最大的项为50，知当m≥50时bm=100，所以，当1＜m＜49时，有g（m）＞g（m+1）；当m≥49时，有g（m）=g（m+1）；
（III）可设{a1，a2，…a100}中的最大值为M，则由（II）知，g（m）的最小值为g（M），计算出g（M）的值即为g（m）最小值．
【解析】
（I）因为数列k1=40，k2=30，k3=20，k4=10，所以b1=40，b2=70，b3=90，b4=100，
所以：g（1）=-60，g（2）=-90，g（3）=-100，g（4）=-100；
（II）一方面，g（m+1）-g（m）=bm+1-100，根据bj的含义，知bm+1≤100，
故g（m+1）-g（m）≤0，即g（m）≥g（m+1），①
当且仅当bm+1=100时取等号．
因为a1，a2，a3，…，a100中最大的项为50，所以当m≥50时必有bm=100，
所以g（1）＞g（2）＞…＞g（49）=g（50）=g（51）=…
即当1＜m＜49时，有g（m）＞g（m+1）；当m≥49时，有g（m）=g（m+1）；
（III）设M为{a1，a2，…a100}中的最大值．
由（II）可以知道，g（m）的最小值为g（M）．下面计算g（M）的值．
g（M）=b1+b2+b3+…+bM-100M
=（b1-100）+（b2-100）+（b3-100）+…+（bM-1-100）
=（-k2-k3-…-kM）+（-k3-k4-…-kM）+（-k4-k5…-kM）+…+（-kM）
=-[k2+2k3+…+（M-1）kM]
=-（k1+2k2+3k3+…+MkM）+（k1+k2+…+kM）
=-（a1+a2+a3+…+a100）+bM
=-（a1+a2+a3+…+a100）+100
∵a1+a2+a3+…+a100=200，∴g（M）=-100，g（m）最小值为-100．