Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=-x+b在区间（0，2）上有两上不等的实根，求实数b的取值范围．

Answer

要求函数f（x）的单调区间，就需要求函数的导数，但在函数解析式中有参数a所以先跟据函数在x=0处取得极值求的a=1，然后根据利用单数判断单调性的步骤来做即可．在第二问中，先把方程转化为函数g（x），方程有两个不等的实根也就相当于函数在（0，2）上有两个不同的零点．根据函数零点的判断，可得g（0）＜0，g（1）＞0，g（2）＜0．
【解析】
（1）∵f（x）=ln（x+a）-x2-x
∴f′（x）=-2x-1=
∵函数f（x）=ln（x+a）-x2-x在x=0处取得极值
∴f′（x）=0，∴∴a=1
          即f′（x）== （x＞-1）
          由f′（x）＞0得-1＜x＜0，由f′（x）＜0得 x＞0
∴f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）．
（2）令g（x）=f（x）-（-）=ln（x+1）-x2+，x∈（0，2）
     则g′（x）=
     令g′（x）=0得x=1或x=-（舍去）
     当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当1＜x＜2时g′（x）＜0，即g（x）在（0，1）上递增，在（1，2）上递减
    方程f（x）=-在区间（0，2）上有两个不等的实根等价于函数g（x）在（0，2）上有两个不同的零点
∴
∴
     即实数b的取值范围是