Question

已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N⁺）满足，且点P₁的坐标为（-1，1），设经过点P₁、P₂的直线为L．
（1）求直线L的方程；
（2）已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N⁺）在直线L上，求证：数列是等差数列；
（3）在满足（II）条件下，求对于所有n∈N⁺，能使不等式（1+a₁）（1+a₂）…成立的最大实数k的值．

Answer

（1）由 ，知 ．由此知过点P1，P2的直线l的方程为2x+y=1．
（2）由Pn（an，bn）在直线l上，知2an+bn=1．故bn+1=1-2an+1．由an+1=anbn+1，得an+1=an-2anan+1．由此知 是公差为2的等差数列．
（3）由 ．，知 ．所以 ，．依题意 恒成立．设 ，所以只需求满足k≤F（n）的F（n）的最小值．
【解析】
（1）因为 ，所以 ．所以 ．
所以过点P1，P2的直线l的方程为2x+y=1．
（2）因为Pn（an，bn）在直线l上，所以2an+bn=1．所以bn+1=1-2an+1．
由an+1=anbn+1，得an+1=an（1-2an+1）．即an+1=an-2anan+1．
所以 ．所以 是公差为2的等差数列．
（3）由（2）得 ．
所以 ．
所以 ．
所以 ．（8分）
依题意 恒成立．
设 ，
所以只需求满足k≤F（n）的F（n）的最小值．
因为
==，
所以F（n）（x∈N*）为增函数．
所以 ．
所以 ．所以 ．