Question

在△ABC中，已知，sinB=cosAsinC，又△ABC的面积等于6．
（1）求△ABC的三边之长；
（2）设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB、BC、CA的距离分别为d₁、d₂、d₃，求d₁+d₂+d₃的取值范围．

Answer

（1）设三边分别为a，b，c，利用正弦定理和余弦定理将题中条件角的关系转化成边的关系，得到直角三角形ABC，再结合向量条件利用三角形面积公式即可求出三边长．
（2）欲求d1+d2+d3的取值范围，利用坐标法，将三角形ABC放置在直角坐标系中，通过点到直线的距离将求d1+d2+d3的范围转化为故．最后结合线性规划的思想方法求出范围即可．
【解析】
（1）设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a，b，c，
∵sinB=cosAsinC，∴，由正弦定理有，
又由余弦定理有，∴，即a2+b2=c2，
所以△ABC为Rt△ABC，且∠C=90°（3分）
又
（1）÷（2），得（4分）
令a=4k，b=3k（k＞0）
则∴三边长分别为3，4，5（6分）
（2）以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，
则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为4x+3y-12=0．
设P点坐标为（x，y），则由P到三边AB、BC、AB的距离为d1，d2和d3
可知，（8分）
且故．（10分）
令m=x+2y，由线性规划知识可知，如图：
当直线分别经过点A、O时，z取得最大、最小值．
故0≤m≤8，故d1+d2+d3的取值范围是（12分）