Question

已知数列a_n满足a₁=2，；
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前n项和为S_n，试比较a_n-S_n与2的大小．

Answer

（Ⅰ）由，得，故由此能求出an．
（Ⅱ）由Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，知2Sn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1，所以Sn=（n-1）×2n+1+2，由此能够推导出an-Sn＞2．
【解析】
（Ⅰ）由，得=，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
∴得an=n2•2n（n∈N+）（5分）
（Ⅱ）由条件知：
Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，①
∴2Sn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1，②
①-②得-Sn=2+22+…+2n-n×2n+1=
整理得：Sn=（n-1）×2n+1+2，（9分）
∴an-Sn-2=n2×2n-（n-1）×2n+1-4=[（n-1）2+1]×2n-4，
∵n∈N+，∴n=1时，an-Sn-2＜0，∴an-Sn＜2
n≥2时，an-Sn＞2，∴an-Sn＞2．（12分）