Question

已知集合A=a₁，a₂，…，a_n中的元素都是正整数，且a₁＜a₂＜…＜a_n，对任意的x，y∈A，且x≠y，有．
（Ⅰ）求证：；    
（Ⅱ）求证：n≤9；
（Ⅲ）对于n=9，试给出一个满足条件的集合A．

Answer

（Ⅰ）依题意有，又a1＜a2＜＜an，因此．由此能够证明．
（Ⅱ）由，a1≥1，可得，因此n＜26．同理，可知．由此能够推导出n≤9．
（Ⅲ）对于任意1≤i＜j≤n，ai＜ai+1≤aj，由，可知．只需对1≤i＜n，成立即可，由此能够导出满足条件的一个集合A=1，2，3，4，5，7，10，20，100．
【解析】
（Ⅰ）证明：依题意有，又a1＜a2＜＜an，
因此．
可得．
所以．
即．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得．
又a1≥1，可得，因此n＜26．
同理，可知．
又ai≥i，可得，
所以i（n-i）＜25（i=1，2，，n-1）均成立．
当n≥10时，取i=5，则i（n-i）=5（n-5）≥25，
可知n＜10．
又当n≤9时，．
所以n≤9．
（Ⅲ）【解析】
对于任意1≤i＜j≤n，ai＜ai+1≤aj，
由可知，，即．
因此，只需对1≤i＜n，成立即可．
因为；；；，
因此可设a1=1；a2=2；a3=3；a4=4；a5=5．
由，可得，取a6=7．
由，可得，取a7=10．
由，可得，取a8=20．
由，可得a9≥100，取a9=100．
所以满足条件的一个集合A=1，2，3，4，5，7，10，20，100．