Question

已知函数f（x）=ax³+bx²（x∈R）的图象过点P（-1，2），且在P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直．
（Ⅰ）求f（x）得解析式；
（Ⅱ）若g（x）=af（x）-3x在（-1，0）上是减函数，求a的取值范围．

Answer

（I）本题的解析式中有两个参数，故需要两个方程，由图象过定点P可以得到一个方程，另一个由点P处的切线与直线x-3y=0垂直可以得到切线的斜率，得到另一个方程，由此两方程联立即可得到两个参数的值．
（Ⅱ）求解本题中的参数取值范围需要先求出g（x）的解析式，然后求出其导数，由于函数在（-1，0）上是减函数，故在这个区间上导数值应小于等于0，由此关系得到参数a的不等式，解之即得．
【解析】
（1）∵f′（x）=3ax2+2bx，
∴由题设有
∴
∴f（x）=x3+3x2．（4分）
（2）由题意g（x）=ax3+3ax2-3x，g′（x）=3ax2+6ax-3，
又由已知得g′（x）=3ax2+6ax-3≤0在（-1，0）上恒成立，
可得得在（-1，0）上恒成立，
由于
∴a≥-1
即符合条件的参数a的取值范围是a≥-1（12分）