Question

已知点A，B分别是射线l₁：y=x（x≥0），l₂：y=-x（x≥0）上的动点，O为坐标原点，且△OAB的面积为定值2．
（I）求线段AB中点M的轨迹C的方程；
（II）过点N（0，2）作直线l，与曲线C交于不同的两点P，Q，与射线l₁，l₂分别交于点R，S，试求出直线l的斜率的取值范围，并证明：|PR|=|QS|．

Answer

（1）设点M（x，y），由M是线段AB中点得又因为点A，B分别是射线l1l2上的动点，且S△OAB=x1x2=2所以点M的轨迹方程为x2-y2=2（x＞0）．
（Ⅱ）讨论直线的斜率是否存在，存在时设直线l的方程为y=kx+2，由题得xP，xQ＞0，即整理得，又且PQ的中点的横坐标为，所以
|PR|=|QS|
【解析】
（I）由题可设A（x1，x1），B（x2，-x2），M（x，y），其中x1＞0，x2＞0．
则
∵△OAB的面积为定值2，
∴．
（1）2-（2）2，消去x1，x2，得：x2-y2=2．
由于x1＞0，x2＞0，∴x＞0，所以点M的轨迹方程为x2-y2=2（x＞0）．
（II）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2．
由消去y得：（1-k2）x2-4kx-6=0，
设点P、Q、R、S的横坐标分别是xP、xQ、xR、xP，
∴由xP，xQ＞0得
解之得：
由消去y得：，
由消去y得：
∴．又PQ的中点的横坐标为
所以RS的中点与PQ的中点重合，故|PR|=|QS|