Question

某学生对函数f（x）=2xcosx进行研究后，得出如下四个结论：
（1）函数f（x）在[-π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；
（2）存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立；
（3）点是函数y=f（x）图象的一个对称中心；
（4）函数y=f（x）图象关于直线x=π对称．
其中正确的    ．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer

对函数f（x）进行求导，根据导数的正负与原函数的增减性的关系可判断（1）不对；
根据y=cosx是有界函数可得（2）对；
根据函数基本性质--对称性的应用可判断（3）（4）不对．
【解析】
∵f（x）=2xcosx是一个奇函数，在对称的区间上单调性相同，故不对，排除（1）
因为|cosx|≤1，令M=2即得|f（x）|≤M|x|成立，故（2）对，
因为f（）+f（-x）=-（π+2x）sinx+（π-2x）sinx=-4xsinx≠0，所以点不是函数y=f（x）图象的一个对称中心，
故（3）不对．
因为f（π+x）=2（π+x）cosx，f（π-x）=2（π-x）cosx，∴f（π+x）≠f（π-x），∴函数y=f（x）图象不关于直线x=π对称
故（4）不对
故答案为：（2）