Question

已知A、B是圆x²+y²=4上满足条件的两个点，其中O是坐标原点，分别过A、B作x轴的垂线段，交椭圆x²+4y²=4于A₁、B₁点，动点P满足
（I）求动点P的轨迹方程
（II）设S₁和S₂分别表示△PAB和△B₁A₁A的面积，当点P在x轴的上方，点A在x轴的下方时，求S₁+S₂的最大值．

Answer

（I）设P（x，y），A1（x1，y1），B1（x2，y2），求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求x，y的关系，结合向量的垂直关系及向量的坐标运算即得动点P的轨迹方程；
（II）根据（I）A（x1，2y1），B（x2，2y2），得出直线AB的方程，再利用点到直线的距离公式求得点P到直线AB的距离，最后利用基本不等式求出S1+S2的最大值即可．
【解析】
（I）设P（x，y），A1（x1，y1），B1（x2，y2），
则x12+4y12=4①x22+4y22=4②从而A（x1，2y1），B（x2，2y2）由于，所以，进而有x1x2+4y1y2=0③根据可得（x-x1，y-y1）+2（x2-x，y2-y）=（0，0）即
由④2+4×⑤2，并结合①②③得
x2+4y2=（2x2-x1）2+4（2y2-y1）2
=4（x22+4y22）+（x12+4y12）-4（x1x2+4y1y2）
=4×4+4-4×0=20
所以动点P的轨迹方程为x2+4y2=20
（II）根据（I）A（x1，2y1），B（x2，2y2），所以直线AB的方程为
即2（y2-y1）x-（x2-x1）y+2y1（x2-x1）-2x1（y2-y1）=0
从而点P（2x2′-x1，2y2-y1）（2y2-y1＞0）到直线AB的距离为
=
=
又因为
所以S=
而（∵y1＜0）
所以
由①+②-2×③得
从而有8=（x2-x1）2+4（y2-y1）2≥2×|x2-x1|×2|y2-y1|=4|x2-x1||y2-y1|
当且仅当|x2-x1|=2|y2-y1|时取等号．
所以S1+S2=|（x2-x1）（y2-y1）|≤2，即S1+S2的最大值为2