Question

已知曲线C₁：ρ=2sinθ，曲线（t为参数）
（I）化C₁为直角坐标方程，化C₂为普通方程；
（II）若M为曲线C₂与x轴的交点，N为曲线C₁上一动点，求|MN|的最大值．

Answer

（I） 利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得C1为直角坐标方程；消去参数t得曲线C2的普通方程．
（II）先在直角坐标系中算出曲线C2与x轴的交点的坐标，再利用直角坐标中结合圆的几何性质即可求|MN|的最大值．
【解析】
（I）曲线C1的极坐标化为ρ2=2ρsinθ
又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ
所以曲线C1的直角坐标方程x2+y2-2y=0
因为曲线C2的参数方程是，
消去参数t得曲线C2的普通方程4x+3y-8=0
（II）因为曲线C2为直线
令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）
曲线C1为圆，其圆心坐标为C1（0，1），半径r=1，则
∴，|MN|的最大值为