Question

已知函数f（x）=x³-（k²-k+1）x²+5x-2，g（x）=k²x²+kx+1，其中k∈R．
（I）设函数p（x）=f（x）+g（x）．若p（x）在区间（0，3）上不单调，求k的取值范围；
（II）设函数是否存在k，对任意给定的非零实数x₁，存在惟一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q′（x₂）=q′（x₁）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）因P（x）=f（x）+g（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）x-1，先求导数：p′（x），因p（x）在区间（0，3）上不单调，得到p′（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，再利用分离参数的方法得出，最后再利用导数求出此函数的值域即可；
（II）先根据题意得出当k=0时不合题意，因此k≠0，下面讨论k≠0的情形，分类讨论：（ⅰ）当x1＞0时，（ⅱ）当x1＜0时，最后综合（ⅰ）（ⅱ）即可得出k值．
解析：（I）因P（x）=f（x）+g（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）x-1，
p′（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5），
因p（x）在区间（0，3）上不单调，所
以p′（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，
由p′（x）=0得k（2x+1）=-（3x2-2x+5），
∴，
令t=2x+1，有t∈（1，7），记，
则h（t）在（1，3]上单调递减，在[3，7）上单调递增，所
以有h（t）∈[6，10），于是，
得k∈（-5，-2]，而当k=-2时有p′（x）=0在（0，3）上有两个相等的实根x=1，故舍去，
所以k∈（-5，-2）；
（II）当x＜0时有q′（x）=f′（x）=3x2-2（k2-k+1）x+5；
当x＞0时有q′（x）=g′（x）=2k2x+k，
因为当k=0时不合题意，因此k≠0，
下面讨论k≠0的情形，记A=（k，+∞），B=（5，+∞）
（ⅰ）当x1＞0时，q′（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以要使q′（x2）=q′（x1）成立，只能x2＜0且A⊆B，
因此有k≥5，
（ⅱ）当x1＜0时，q′（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以要使q′（x2）=q′（x1）成立，只能x2＞0且A⊆B，
因此k≤5，综合（ⅰ）（ⅱ）k=5；
当k=5时A=B，则∀x1＜0，q′（x1）∈B=A，即∃x2＞0，
使得q′（x2）=q′（x1）成立，
因为q′（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x2的值是唯一的；
同理，∀x1＜0，即存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），
要使q′（x2）=q′（x1）成立，所以k=5满足题意．