Question

如图，已知椭圆C：，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆G于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．
（1）是否存在k，使对任意m＞0，总有成立？若存在，求出所有k的值；
（2）若，求实数k的取值范围．

Answer

（1）椭圆C：，，c=m，F（m，0），直线AB：y=k（x-m），由，得（10k2+6）x2-20k2mx+10k2m2-15m2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），然后结合韦达定理进行求解．
（2）=x1x2+k2（x1-m）（x2-m）=（1+k2）x1x2-k2m（x1+x2）+k2m2=（1+k2）•由此结合，能够导出实数k的取值范围．
【解析】
（1）椭圆C：，，c=m，∴F（m，0），直线AB：y=k（x-m），，（10k2+6）x2-20k2mx+10k2m2-15m2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=，
x1x2=；则xm=，，若存在k，使AB为ON的中点，∴．
∴，
即N点坐标为．由N点在椭圆上，则
即5k4-2k2-3=0．∴k2=1或k2=-（舍）．故存在k=±1使．
（2）=x1x2+k2（x1-m）（x2-m）=（1+k2）x1x2-k2m（x1+x2）+k2m2=（1+k2）•，
由，得=-≤-2m2，
即k2-15≤-20k2-12，k2≤，∴，且k≠0．