Question

已知函数，（x∈R，p₁，p₂为常数）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，
（1）求f（x）=f₁（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p₁，p₂表示）；
（2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p₁，p₂∈（a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）

Answer

（1）根据题意，先证充分性：由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）对所有实数成立，等价于f1（x）≤f2（x）对所有实数x成立等价于，即对所有实数x均成立，分析容易得证；再证必要性：对所有实数x均成立等价于，即|p1-p2|≤log32，
（2）分两种情形讨论：①当|p1-p2|≤log32时，由中值定理及函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度；②当|p1-p2|＞log32时，a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），根据图象和函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度．
【解析】
（1）由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）（对所有实数x）等价于f1（x）≤f2（x）（对所有实数x）这又等价于，即对所有实数x均成立．（*）
由于|x-p1|-|x-p2|≤|（x-p1）-（x-p2）|=|p1-p2|（x∈R）的最大值为|p1-p2|，
故（*）等价于，即|p1-p2|≤log32，这就是所求的充分必要条件
（2）分两种情形讨论
（i）当|p1-p2|≤log32时，由（1）知f（x）=f1（x）（对所有实数x∈[a，b]）
则由f（a）=f（b）及a＜p1＜b易知，
再由的单调性可知，
函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度
为（参见示意图）

（ii）|p1-p2|＞log32时，不妨设p1＜p2，，则p2-p1＞log32，于是
当x≤p1时，有，从而f（x）=f1（x）；
当x≥p2时，有
从而f（x）=f2（x）；当p1＜x＜p2时，，及，由方程
解得f1（x）与f2（x）图象交点的横坐标为（1）
显然，
这表明x在p1与p2之间．由（1）易知
综上可知，在区间[a，b]上，（参见示意图）

故由函数f1（x）及f2（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x-p1）+（b-p2），由于f（a）=f（b），即，得p1+p2=a+b+log32（2）
故由（1）、（2）得
综合（i）（ii）可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为．