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已知函数f(x)=sinx,对于满足0<x1<x2<π的任意x1,x2,给出下列...

已知函数f(x)=sinx,对于满足0<x1<x2<π的任意x1,x2,给出下列结论:
①(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0;
②x2f(x1)>x1f(x2);
③f(x2)-f(x1)<x2-x1
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其中正确结论的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
根据条件和正弦函数的单调性判断①,根据对条件进行变形和正弦函数的图象,以及直线斜率的几何意义判断②,利用正弦函数的单调性判断③,根据正弦函数的图象进行判断④. 【解析】 ①、由(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0得f(x)为增函数,因为函数y=f(x)在(0,π)上先增后减,故①错误; ②、由于,将视为曲线y=f(x)上的点与原点连线斜率,结合函数图象可知横坐标越大,斜率越小,故②正确; ③、当x∈(0,π)时,y=f(x)-x=sinx-x为减函数,∴f(x2)-x2<f(x1)-x1,故③正确; ④、由于曲线y=f(x)图象上连接任意两点线段中点在曲线下方,∀x1,x2∈(0,+∞),,故④正确. 故选C.
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