Question

已知椭圆（a＞0）的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0），若|AB|=，求直线l的倾斜角．

Answer

（1）根据离心率得出3a2=4c2以及c2=a2-b2，求出a、b的值；
（2）由A（-2，0），设B（x1，y1），直线l的方程为y=k（x+2），知A、B两点的坐标满足方程组 ，由方程消去y并整理得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，由-2x1=得x1=，从而y1=，再由|AB|=，求出k的值，即可得到倾斜角．
【解析】
（1）由e==，得3a2=4c2．再由c2=a2-b2，解得a=2b=2．
所以椭圆的方程为+y2=1．（4分）
（2）由（1）可知点A的坐标是（-2，0）．设点B的坐标为（x1，y1），
直线l的斜率为k．则直线l的方程为y=k（x+2）．
于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，
得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0
由-2x1=得x1=，从而y1=．（6分）
所以|AB|==．
由|AB|=，得=
整理得32k4-9k2-23=0，即（k2-1）（32k2+23）=，解得k=±1．
经检验△＞0符合题意，所以直线l的倾斜角为或．（12分）