Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，是否对任意的正实数t，λ，都有成立？请证明你的结论．

Answer

（1）设出椭圆的方程，根据长轴长是短轴长的2倍求得a和b的关系，把点M代入椭圆的方程求得a和b的另一关系式，联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）根据推断出与x轴垂直，进而根据菱形的几何性质知，∠AMB的平分线应与x轴垂直，问题转化为求直线MA，MB的倾斜角是否互补，设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，设出A，B的坐标，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而表示出k1和k2，求得k1+k2=0，推断出直线MA，MB的倾斜角互补，进而证明题设．
【解析】
（1）设椭圆方程为
则，
∴椭圆方程．
（2）若成立，则向量与x轴垂直，
由菱形的几何性质知，∠AMB的平分线应与x轴垂直．为此只需考察直线MA，MB的倾斜角是否互补即可．
由已知，设直线l的方程为：
由，∴
设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，
只需证明k1+k2=0即可，
设
由x2+2mx+2m2-4=0可得，
x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4，而

=
=
=
=，
∴k1+k2=0，
直线MA，MB的倾斜角互补．
故对任意的正实数t，λ，都有成立．