Question

如图，三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，，，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）求证：平面SAC⊥平面ABC；
（2）求二面角N-CM-B的一个三角函数值；
（3）求点B到平面CMN的距离．

Answer

（1）取AC中点O，由勾股定理可得SO⊥BO，根据等腰三角形的性质可得SO⊥AC，从而得到SO⊥平面ABC，平面SAC⊥平面ABC．
（2）如图所示建立空间直角坐标系O-xyz，求得平面CMN的一个法向量，平面ABC的一个法向量，可得
=的值，即为所求．
（3）根据点B到平面CMN的距离即为上射影的绝对值，求得结果．
【解析】
（1）取AC中点O，连接SO，OB，则SO⊥AC，BO⊥AC，
，，
∵SO2+BO2=20，SB2=20，∴SO2+BO2=SB2，∴SO⊥BO，
又SO⊥AC，∴SO⊥平面ABC，
∵SO⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面ABC．
（2）如图所示建立空间直角坐标系O-xyz．
则A（2，0，0），，C（-2，0，0），，，（6分）
∵=（3，，0），=（-1，0，）．
设为平面CMN的一个法向量，则
•=，•=，
取，∴=（，-，1），
又=（0，0，2 ）为平面ABC的一个法向量，
∴==．
由图知的夹角即为二面角N-CM-B的大小，其余弦值为．
（3）由（2）得=（-1，，0），=（，-，1）为平面CMN的一个法向量，
∴点B到平面CMN的距离即为上射影的绝对值=．