Question

已知椭圆C的两个焦点为，，P为椭圆上一点，满足∠F₁PF₂=60°．
（1）当直线l过F₁与椭圆C交于M、N两点，且△MF₂N的周长为12时，求C的方程；
（2）求△F₁PF₂的面积．

Answer

（1）由椭圆的定义，知|MF1|+|MF2|=2a，|NF1|+|NF2|=2a，两式相加得三角形的周长，从而求得a，b的值；得椭圆C的方程．
（2）在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2•|PF1|•|PF2|•cos60°，从而得|PF1|•|PF2|的值；再由正弦定理的推论，求得△PF1F2的面积．
【解析】
（1）如图所示，
由椭圆的定义，知|MF1|+|MF2|=2a，|NF1|+|NF2|=2a，
∴（|MF1|+|MF2|）+（|NF1|+|NF2|）=4a；
即|MN|+|MF2|+|NF2|=4a=12，∴a=3；
又，∴b=1；所以，椭圆C的方程为．
（2）在△PF1F2中，根据余弦定理，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2•|PF1|•|PF2|•cos60°；
∴（2c）2=（|PF1|+|PF2|）2-3•|PF1|•|PF2|=（2a）2-3•|PF1|•|PF2|；
∴32=36-3•|PF1|•|PF2|；即，
所以，．