Question

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n．已知a₄=2，S₅=20．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T_n；
（3）设，R_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N^*，均有成立？若存在，求出m值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设数列an的公差为d，根据题意列出关于首项和公差的方程组，解上面方程组首项及公差，最后写出数列an的通项公式即可；
（2）先由an≥0且an+1＜0，解得数列从第五项开始为负值，从而利用分段函数结合等差数列的前n项和公式写出Tn即可；
（3）由，利用裂项相消求和得Rn，利用Rn单调递增，即是数列Rn的最小值，即可求得m的最大值．
【解析】
（1）设数列an的公差为d，则．（2分）
解上面方程组得..（3分）
所以，数列an的通项公式为an=8+（n-1）•（-2）
即an=10-2n..（4分）
（2）由an≥0且an+1＜0，解得
当n≤5时Tn=-n2+9n；（5分）
当n＞5时Tn=n2-9n+40；（7分）
所以，（n∈N*）（8分）
（3）由，裂项相消求和得（10分）
因为，所以Rn单调递增，即是数列Rn的最小值，（12分）
要使对n∈N*总成立，只须，
所以m＜8又因为m∈Z，所以m的最大值为7（14分）