Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C₁，所爬的最短路程为2．
（1）求证：D₁E⊥A₁D；
（2）求AB的长度；
（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角D₁-EC-D的大小为．若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）连接AD1，根据长方体的性质可知AE⊥平面AD1，从而AD1是ED1在平面AD1内的射影，根据三垂线定理可得结论；（2）根据四边形ADD1A是正方形，则小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1可能有两种途径，然后比较两个路程的大小从而求出AB的长；
（3）假设存在连接DE，过点D在平面ABCD内作DH⊥EC，连接D1H，根据二面角平面角的定义可知∠D1HD为二面角D1-EC-D的平面角，在直角三角形EBC中求出BE的长即可求出所求．
【解析】
（1）证明：连接AD1，由长方体的性质可知：
AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在
平面AD1内的射影．又∵AD=AA1=1，
∴AD1⊥A1D
∴D1E⊥A1D1（三垂线定理）

（2）设AB=x，∵四边形ADD1A是正方形，
∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到
点C1可能有两种途径，
如图甲的最短路程为|AC1|=
如图乙的最短路程为|AC1=
∵x＞1
∴x2+2x+2＞x2+2+2=x2+4
∴∴x=2（9分）

（3）假设存在连接DE，设EB=y，过点D在平面ABCD内作DH⊥EC，连接D1H，则∠D1HD为二面角D1-EC-D的平面角，
∴∠D1HD=（11分）
∴DH=DD1=1在R△EBC内，EC=，而EC•DH=DC•AD
即即存在点E，且了点B为时，二面角D1-EC-D的大小为