Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，满足S_n=2a_n-1．
（1）求数列的通项a_n及前n项和S_n；
（2）若数列{b_n}满足，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）若对任意的x∈R，恒有T_n＜x²-ax+2成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）、根据题中已知条件先求出数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，然后求出数列an的通项公式，根据等比数列前n项和的公式便可求出Sn的表达式；
（2）、将（1）中求得的Sn的表达式代入bn的表达式中即可求得bn的通项公式，然后即可求出数列{bn}的前n项和Tn的表达式；
（3）、将（2）中求得的Tn的表达式代入Tn＜x2-ax+2，进一步推理即可得出x2-ax+1≥0在R上恒成立，即可求出a的取值范围．
【解析】
（1）当n=1时，S1=2a1-1，a1=1，
当n≥2时，Sn-1=2an-1-1
∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1
∴an=2an-1（3分）
∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．
∴an=2n-1（n∈N*）
．

（2）
∴==

（3）由Tn＜x2-ax+2恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
必须且只须满足1≤x2-ax+2恒成立，
即x2-ax+1≥0在R上恒成立
∴△=（-a）2-4×1≤0，
解得-2≤a≤2．