Question

已知函数
（1）当x≤0时，函数f（x）在（-1，f（-1））处的切线方程为x-3y+1=0，求m的值；
（2）当x＞0时，设f（x）+1的反函数为g^-1（x）（g^-1（x）的定义域即是f（x）+1的值域）．证明：函数在区间（e，3）内无零点，在区间（3，e²）内有且只有一个零点；
（3）求函数f（x）的极值．

Answer

（1）由题意得f'（-1）=1-2m所以函数f（x）在（-1，f（-1））处的切线方程为：（3-6m）x-3y+2-3m=0，又因为函数f（x）在（-1，f（-1））处的切线方程为x-3y+1=0所以解得．
（2）当x＞0时g-1（x）=lnx（x＞1），所以所以解得可知h（x）在（e，3）上为减函数，在（3，e2）上为增函数，在x=3处取得极小值．进而可以得到答案．
（3）当x＞0时，f（x）=ex-1在（0，+∞）上单调递增，且f（x）=ex-1＞0．当x≤0时，f'（x）=x2+2mx=x（x+2m）．当m＞0时，f'（x）=x2+2mx=x（x+2m），令f'（x）=0，得x1=-2m，x2=0．当x＜-2m时，f'（x）＞0当-2m＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，-2m]上单调递增，在（-2m，0]上单调递减．有极值．
当m＜0时f'（x）=x2+2mx=x（x+2m）＞0，f（x）在R上是增函数，无极值
当m=0时f'（x）=x2≥0，f（x）在R上是增函数，无极值．
【解析】
（1）当x≤0时，，f'（x）=x2+2mx，f'（-1）=1-2m
函数f（x）在（-1，f（-1））处的切线方程为：
整理得：（3-6m）x-3y+2-3m=0
所以有，
解得．
（2）当x＞0时，f（x）+1=ex，
所以g-1（x）=lnx（x＞1），=，
令h'（x）＞0得x＞3；令h'（x）＜0得1＜x＜3，令h'（x）=0得x=3，
故知函数h（x）在区间（1，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，在x=3处取得极小值，
进而可知h（x）在（e，3）上为减函数，在（3，e2）上为增函数，在x=3处取得极小值．
又∵．
所以，函数在区间（e，3）内无零点，在区间（3，e2）有且只有一个零点
（3）当x＞0时，f（x）=ex-1在（0，+∞）上单调递增，且f（x）=ex-1＞0．
当x≤0时，f'（x）=x2+2mx=x（x+2m）
①若m=0，f'（x）=x2≥0，则在（-∞，0]上单调递增，且．
又f（0）=0，∴f（x）在R上是增函数，无极值．
②若m＜0，f'（x）=x2+2mx=x（x+2m）＞0，则在（-∞，0]上单调递增．
同理，f（x）在R上是增函数，无极值．
③若m＞0，f'（x）=x2+2mx=x（x+2m），令f'（x）=0，得x1=-2m，x2=0．
当x＜-2m时，f'（x）＞0
当-2m＜x＜0时，f'（x）＜0
所以，在（-∞，-2m]上单调递增，在（-2m，0]上单调递减．
又f（x）在（0，+∞）上单调递增，故[f（x）]极小=f（0）=0，
综上，当m＞0时，[f（x）]极小=f（0）=0，．
当m≤0时，f（x）无极值．