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设椭圆C的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,左焦点到左准线的距离为3....

设椭圆C的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2manfen5.com 满分网,左焦点到左准线的距离为3manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C上有不同两点P、Q,且OP⊥OQ,过P、Q的直线为l,求点O到直线l的距离.
设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),b=.由-c-()=3,得c=.由此能求出椭圆C的方程. (2)若直线l的斜率不存在,设l与x正半轴交于点M,将x=y代入+=1中,得到点P(2,2),Q(2,-2),于是点O到l的距离为2.若直线l的斜率存在,设l的方程为y=kx+m(k,m∈R),则点P(x1,y1),Q(x2,y2)的坐标是方程组的两个实数解,再由根的判别式和韦达定理进行求解. 【解析】 设椭圆C的方程为+=1(a>b>0), 则2b=2,b=. 由-c-()=3,即==3,得c=. 于是a2=b2+c2=21+7=28,椭圆C的方程为+=1.(5分) (2)若直线l的斜率不存在,即l⊥x轴时,不妨设l与x正半轴交于点M,将x=y代入+=1中,得x=y=±2,则点P(2,2),Q(2,-2),于是点O到l的距离为2.(7分) 若直线l的斜率存在,设l的方程为y=kx+m(k,m∈R),则点P(x1,y1),Q(x2,y2)的坐标是方程组的两个实数解, 消去y,整理,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-84=0, ∴△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-84)=12(28k2-m2+21)>0,① x1+x2=-,x1•x2=.②(9分) ∵OP⊥OQ,∴kOP•kOQ=-1,即•=-1,x1x2+y1y2=0. 于是x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.③ 将x1+x2,x1x2代入上式,得(1+k2)•-km+m2=0, ∴(k2+1)(4m2-84)-8k2m2+m2(4k2+3)=0, 化简,得m2=12(k2+1).④ ④代入①满足,因此原点O到直线l的距离d===2.(12分)
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考点分析:
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其中所有正确命题的序号是    .(将你认为正确的结论序号都写上) 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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