Question

设椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，左焦点到左准线的距离为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C上有不同两点P、Q，且OP⊥OQ，过P、Q的直线为l，求点O到直线l的距离．

Answer

设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），b=．由-c-（）=3，得c=．由此能求出椭圆C的方程．
（2）若直线l的斜率不存在，设l与x正半轴交于点M，将x=y代入+=1中，得到点P（2，2），Q（2，-2），于是点O到l的距离为2．若直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+m（k，m∈R），则点P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐标是方程组的两个实数解，再由根的判别式和韦达定理进行求解．
【解析】
设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），
则2b=2，b=．
由-c-（）=3，即==3，得c=．
于是a2=b2+c2=21+7=28，椭圆C的方程为+=1．（5分）
（2）若直线l的斜率不存在，即l⊥x轴时，不妨设l与x正半轴交于点M，将x=y代入+=1中，得x=y=±2，则点P（2，2），Q（2，-2），于是点O到l的距离为2．（7分）
若直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+m（k，m∈R），则点P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐标是方程组的两个实数解，
消去y，整理，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-84=0，
∴△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-84）=12（28k2-m2+21）＞0，①
x1+x2=-，x1•x2=．②（9分）
∵OP⊥OQ，∴kOP•kOQ=-1，即•=-1，x1x2+y1y2=0．
于是x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0．③
将x1+x2，x1x2代入上式，得（1+k2）•-km+m2=0，
∴（k2+1）（4m2-84）-8k2m2+m2（4k2+3）=0，
化简，得m2=12（k2+1）．④
④代入①满足，因此原点O到直线l的距离d===2．（12分）