Question

已知{ a_n}是等差数列，{ b_n}是等比数列，S_n是{ a_n}的前n项和，a₁=b₁=1，S₂=．
（Ⅰ）若b₂是a₁，a₃的等差中项，求a_n与b_n的通项公式；
（Ⅱ）若a_n∈N^*{}是公比为9的等比数列，求证：+++…＜．

Answer

求解本题，宜先将S2=化简用首项与公差、公比表示出来
（Ⅰ）b2是a1，a3的等差中项，由此可以得到2b2=a1+a3，将其与S2=联立即可求得两数列的公差与公比，由通项公式求出通项即可．
（Ⅱ）由{}是公比为9的等比数列，引入公比q，利用等比数列的性质得到==qd=9，即qd=32．与S2=结合可得q=．再由an∈N*，知d是正整数，再结合qd=32．对d，q的值进行判断，验证即得d，q的值，由此Sn可求出，求出其倒数，利用放缩法将其倒数变为可以裂项的形式，将前n项的和的倒数放大即可证明不等式．
【解析】
设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}公比为q．
（Ⅰ）∵S2=，∴a1+a1+d=，，而a1=b1=1，则q（2+d）=12．①
又∵b2是a1，a3的等差中项，
∴a1+a3=2b2，得1+1+2d=2q，即1+d=q．②
联立①，②，解得或（4分）
所以an=1+（n-1）•2=2n-1，bn=3n-1；
或an=1+（n-1）•（-5）=6-5n，bn=（-4）n-1．（6分）
（Ⅱ）∵an∈N*，=b1=q1+（n-1）d-1=q（n-1）d，
∴==qd=9，即qd=32．①（8分）
由（Ⅰ）知q（2+d）=12，得q=．②
∵a1=1，an∈N*，∴d为正整数，从而根据①②知q＞1且q也为正整数，
∴d可为1或2或4，但同时满足①②两个等式的只有d=2，q=3，
∴an=2n-1，Sn==n2．（10分）
∴=＜=（-）（n≥2）．
当n≥2时，++…+=+++…+＜1+2（-）+2（-）+…+2（-）
=1+2[（-）+（-）+…+（-）]
=-＜．
显然，当n=1时，不等式成立．
故n∈N*，++…+＜．（14分）
思路2或者和文科题的解法相同，前两项不变，从第三项开始缩小：
当n≥2时，++…+＜1++（-）+（-）+…+（-）
=1++[（-）+（-）+…+（-）]
=1++（+--）
=--＜．