Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA₁=2，D为侧棱AA₁的中点．
（1）求异面直线DC₁，B₁C所成角的余弦值；
（2）求二面角B₁-DC-C₁的平面角的余弦值．

Answer

（1）以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系C-xyz，写出要用的点的坐标，写出两个向量的方向向量，根据两个向量所成的角得到两条异面直线所成的角．
（2）先求两个平面的法向量，在第一问的基础上，有一个平面的法向量是已知的，只要写出向量的表示形式就可以，另一个平面的向量需要求出，根据两个法向量所成的角得到结果．
【解析】
（1）如图所示，以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系
C-xyz．
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1）．
所以=（-2，0，1），=（0，-2，-2）． 
所以cos＜＞===-．
即异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为．
（2）因为=（0，2，0），=（2，0，0），=（0，0，2），
所以•=0，•=0，
所以为平面ACC1A1的一个法向量．         
因为=（0，-2，-2），=（2，0，1），
设平面B1DC1的一个法向量为n，n=（x，y，z）．
由，得
令x=1，则y=2，z=-2，n=（1，2，-2）．
所以cos＜n，＞===．
所以二面角B1-DC-C1的余弦值为．