Question

（理科做）已知函数f（x）=x³+ax+b定义在区间[-1，1]上，且f（0）=f（1）．又P、Q是其图象上任意两点（x₁≠x₂）．
（1）求证：f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称图形；
（2）设直线PQ的斜率为k，求证：|k|＜2；
（3）若0≤x₁＜x₂≤1，求证：|y₁-y₂|＜1．

Answer

（1）由于f（0）=f（1）得到b=1+a+b得a=-1，得出f（x）=x3-x+b的图象可由y=x3-x的图象向上（或下）平移b（或-b）个单位二得到． 又y=x3-x是奇函数，其图象关于原点成中心对称图形，最后得出f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称图形． 
（2）先由点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在f（x）=x3-x+b的图象上．． 又x1、x2∈[-1，1]，利用不等式的性质即可证得|k|=|x12+x22+x1x2-1|＜2
（3）根据0≤x1＜x2≤1，且|y1-y2|＜2|x1-x2|=-2（x1-x2），又|y1-y2|=|f（x1）-f（x2）|=|f（x1）-f（0）+f（1）-f（x2）|利用绝对值不等式的性质即可证得|y1-y2|＜1．
【解析】
（1）f（0）=f（1），∴b=1+a+b得a=-1．（1分）
f（x）=x3-x+b的图象可由y=x3-x的图象向上（或下）平移b（或-b）个单位二得到．                                                                 （3分）
又y=x3-x是奇函数，其图象关于原点成中心对称图形，f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称图形．                                                         （5分）
（2）∵点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在f（x）=x3-x+b的图象上，．           （7分）
又x1、x2∈[-1，1]，x1≠x2∵0＜x12+x22+x1x2＜3，从而-1＜x12+x22+x1x2-1＜2
∴|k|=|x12+x22+x1x2-1|＜2                                     （11分）
（3）∵0≤x1＜x2≤1，且|y1-y2|＜2|x1-x2|=-2（x1-x2），①
又|y1-y2|=|f（x1）-f（x2）|=|f（x1）-f（0）+f（1）-f（x2）|≤|f（x1）-f（0）|+|f（1）-f（x2）|≤2|x1-0|+2|x2-1|=2（x1-0）+2（1-x2）=2（x1-x2）+2②
①+②得2|y1-y2|＜2，故|y1-y2|＜1（14分）