Question

已知F₁（-c，0），F₂（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是    ．

Answer

先由椭圆的定义得：PF1+PF2=2a平方得：|PF1|2+|PF2|2+2PF1PF2=4a2，由余弦定理得：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2=F1F22=4c2结合题中向量条件得到：cos∠F1PF2=和|PF1|•|PF2|=2a2-3c2，最后利用三角函数的性质及基本不等式即可求得此椭圆离心率的取值范围．
【解析】
由椭圆的定义得：
PF1+PF2=2a
平方得：|PF1|2+|PF2|2+2PF1PF2=4a2．①
又∵，
∴|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2=c2，②
由余弦定理得：
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2=F1F22=4c2，③
由①②③得：cos∠F1PF2=≤1⇒⇒
|PF1|•|PF2|=2a2-3c2，又|PF1|•|PF2|≤
∴2a2-3c2≤a2⇒a2≤3c2⇒
则此椭圆离心率的取值范围是：
故答案为：．