Question

给出下列四个命题：
①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则x＞1；
②抛物线y=2x²的焦点坐标是；
③已知，与的夹角为，则在上的投影为3；
④已知f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在处取得最小值，则；．
其中正确命题的序号是    ．

Answer

依次分析命题：当0＜x≤1时，|x-lgx|=x+|lgx|；当x＞1时，|x-lgx|＜x+|lgx|，故①成立；抛物线y=2x2的焦点坐标是（0，），②不成立；在上的投影=||+=2+2×=3，③成立；f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在处取得最小值，则，④成立，综合可得答案．
【解析】
当0＜x＜1时，|x-lgx|=x+|lgx|；
当x=1时，|x-lgx|=x+|lgx|；
当x＞1时，|x-lgx|＜x+|lgx|．
∴若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则x＞1，即①成立；
∵抛物线y=2x2的焦点坐标是（0，），∴②不成立；
在上的投影=||+=2+2×=3，∴③成立；
f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在处取得最小值，则，即④成立．
故答案为：①③④．