Question

设数列{a_n}是公差为d的等差数列，其前n项和为S_n．
（1）已知a₁=1，d=2，
（ⅰ）求当n∈N^*时，的最小值；
（ⅱ）当n∈N^*时，求证：；
（2）是否存在实数a₁，使得对任意正整数n，关于m的不等式a_m≥n的最小正整数解为3n-2？若存在，则求a₁的取值范围；若不存在，则说明理由．

Answer

（1）（ⅰ）先利用等差数列的求和公式得出Sn，再结合基本不等式求得的最小值即可；
（ⅱ）由（ⅰ）知Sn=n2，当n∈N*时，由于利用裂项求和的方法化简所证不等式的左边，最后进行放缩即得所要证不等式．
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即存在实数a1，使得对任意正整数n，关于m的不等式am≥n的最小正整数解为3n-2，再利用不等关系求得d和实数a1的范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（1）（ⅰ）【解析】
∵a1=1，d=2，
∴，，
当且仅当，即n=8时，上式取等号．故的最小值是16．（4分）
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知Sn=n2，当n∈N*时，，（6分）==，（8分）
∵，∴．（9分）
（2）假设对∀n∈N*，关于m的不等式am=a1+（m-1）d≥n的最小正整数解为cn=3n-2，
当n=1时，a1+（c1-1）d=a1≥1；（10分）
当n≥2时，恒有，即，
从而．（12分）
当时，对∀n∈N*，且n≥2时，当正整数m＜cn时，
有．（13分）
所以存在这样的实数a1符合题意且a1的取值范围是．