Question

设函数f（x）=x-m（x+1）ln（x+1），（x＞-1，m≥0）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当m=1时，若直线y=t与函数f（x）在上的图象有两个交点，求实数t的取值范围；
（3）证明：当a＞b＞0时，（1+a）^b＜（1+b）^a．

Answer

（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解．
（2）由（1）求出f（x）的单调区间，由题意直线y=t与函数f（x）在上的图象有两个交点等价于方程f（x）=t在上有两个实数解，从而求出实数t的取值范围；
（3）只需证bln（1+a）＜aln（1+b），只需证：，设则利用函数的单调性进行证明．
【解析】
（1）f'（x）=1-mln（x+1）-m
=1 ①m=0时，f'（x）=1＞0，
∴f（x）在定义域（-1，+∞）是增函数（2分）
=2 ②m＞0时，令f'（x）＞0得mln（x+1）＜1-m，∴
∴f（x）在上单调递增，在上单调递减（4分）
（2）直线y=t与函数f（x）在上的图象有两个交点等价于方程f（x）=t在上有两个实数解（5分）
由（I）知，f（x）在上单调递增，在[0，1]上单调递减．
又，且（7分）
∴当时，方程f（x）=t有两个不同解，
即直线y=t与函数f（x）在上的图象有两个交点（8分）
（3）要证：（1+a）b＜（1+b）a
只需证bln（1+a）＜aln（1+b），只需证：（10分）
设则．（12分）
由（I）知x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）单调递减，∴x-（1+x）ln（1+x）＜0即g（x）是减函数，而a＞b
∴g（a）＜g（b），故原不等式成立（14分）