Question

如图所示，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥DCAB∥DC，且满足
DC-DD₁=2AD=2AB=2．
（1）求证：DB⊥平面B₁BCC；
（2）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值．

Answer

（1）设E是DC的中点，连接BE，BD⊥BC，又BD⊥BB1，B1B∩BC=B，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥平面BCC1B1；
（2）取DB的中点F，连接A1F，取DC1的中点M，连接FM，根据二面角的定义证得∠A1FM为二面角A1-BD-C1的平面角，取D1C1的中点H，连接A1H，HM，在Rt△A1HM中求出∠A1FM即可．
【解析】
（1）设E是DC的中点，连接BE，
则四边形DABE为正方形，∴BE⊥CD．故BD=，BC=，CD=2，
∴∠DBC=90°，即BD⊥BC．
又BD⊥BB1，B1B∩BC=B
∴BD⊥平面BCC1B1，（6分）
（2）由（I）知DB⊥平面BCC1B1，
又BC1⊂平面BCC1B1，∴BD⊥BC1，
取DB的中点F，连接A1F，又A1D=A1B，
则A1F⊥BD．取DC1的中点M，连接FM，则FM∥BC1，∴FM⊥BD．
∴∠A1FM为二面角A1-BD-C1的平面角．
连接A1M，在△A1FM中，A1F=，
FM===，
取D1C1的中点H，连接A1H，HM，在Rt△A1HM中，
∵A1H=，HM=1，∴A1M=．
∴cos∠A1FM=．
∴二面角A1-BD-C1的余弦值为．