Question

已知函数f（x）=mx³-x²+13（m∈R）．
（1）当m=时，求f（x）的极值；
（2）当m≠0时，若f（x）在（2，+∞）上是单调的，求m的取值范围．

Answer

（1）把m=代入函数f（x）=mx3-x2+13（m∈R），求得f（x）的表达式，对其进行求导得f′（x），并令f′（x）=0，即可求得极值；
（2）已知m≠0，对f（x）求导，因为f（x）在（2，+∞）上是单调的，可得f′（x）＜0或，f′（x）＞0在（2，+∞）上成立，从而求出m的取值范围．
【解析】
（1）当m=时，由 f′（x）=x2-2x=0，得 x=0 或 x=2．
所以当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0；x∈（0，2）时，f′（x）＜0；
x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0．
因此x=0时，f（x）取极大值，f（x）极大=f（0）=13；x=2时，
f（x）取极小值，f（x）极小=f（2）=．                             
（2）f′（x）=3mx2-2x，因为m≠0，所以f′（x）的图象是抛物线，与x轴始终有两个交点（0，0）与（，0）．
若f（x）在（2，+∞）上是单调的，即f（x）在（2，+∞）上恒有
f′（x）≥0 或f′（x）≤0．
当m＜0时，抛物线开口向下，与x轴正方向无交点，
在（2，+∞）上恒有f′（x）＜0；
当m＞0时，抛物线开口向上，与x轴正方向的交点为（，0），只需≤2，
解得m≥．
综上，m的取值范围是（-∞，0）∪[，+∞）．