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已知函数f(x)=|x-a|+|x+a|+|x-b|+|x+b|-c,若存在正常...

已知函数f(x)=|x-a|+|x+a|+|x-b|+|x+b|-c,若存在正常数m,使f(m)=0,则不等式f(x)<f(m)的解集是   
由于利用绝对值的性质可得f(x)≥2|a|+2|b|-c,存在正常数m,使f(m)=0,故2|a|+2|b|-c<0.画出函数f(x)的图象,数形结合可得不等式f(x)<f(m)的解集. 【解析】 因为f(-x)=|x-a|+|x+a|+|x-b|+|x+b|-c=f(x),故函数f(x)为偶函数,它的图象关于y轴对称. 又因为f(x)=|x-a|+|x+a|+|x-b|+|x+b|-c=|a-x|+|x+a|+|b-x|+|x+b|-c≥2|a|+2|b|-c, 由于存在正常数m,使f(m)=0,故2|a|+2|b|-c<0.(否则,当2|a|+2|b|-c≥0时,不在正常数m,使f(m)=0). 不妨设0<a<b, ①当-a≤x≤a时,f(x)=2|a|+2|b|-c=2a+2b-c, ②当b>x>a  时,f(x)=2x+2b-c, ③当x>b时,f(x)=4x-c, 再根据此函数为偶函数,预想关于y轴对称,画出函数f(x)在R上的图象,如图所示: 数形结合可得不等式f(x)<f(m)的解集是(-m,m), 故答案为 (-m,m ).
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