Question

设数列{a_n}满足条件：a₁=8，a₂=0，a₃=-7，且数列{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差数列．
（1）设c_n=a_n+1-a_n，求数列{c_n}的通项公式；
（2）求S_n=|c₁|+|c₂|+…+|c_n|；
（3）数列{a_n}的最小项是第几项，并求出该项的值．

Answer

（1）因为数列{an+1-an}是等差数列，要求通项公式即要知道首项和公差，先根据c1=a2-a1得到此数列的首项，再根据（a3-a2）-（a2-a1）求出数列的公差，写出通项公式即可；
（2）根据（1）求得的数列{cn}通项公式得到n小于等于9时的每一项都小于0，先求出前9项的绝对值的和，当n大于9时的每一项都大于0，且为首项为1，公差为1的等差数列共n-9项，利用等差数列的前n项和的公式表示出Sn即可；
（3）根据an-an-1=（n-1）-9=n-10，得到an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1；利用等差数列的前n项和的公式化简后，得到一个关于n的二次函数，根据二次函数求最值的方法根据n取正整数得到数列{an}的最小项及该项的值．
【解析】
（1）因为数列{an+1-an}是等差数列，
首项c1=a2-a1=-8，公差d=（-7-0）-（0-8）=1，
所以cn=-8+（n-1）•1=n-9
即cn=n-9，n∈N*；
（Ⅱ）由cn=n-9＞0得n＞9，
所以，当n≤9时，cn＜0，Sn=（-c1）+（-c2）+…+（-cn）
=，所以S9=36；
当n＞9时，cn＞0，Sn=S9+c10+…+cn
=；
（Ⅲ）由（1）得：an-an-1=n-10（n∈N，n＞1），
所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=（n-10）+（n-11）+…+（-8）+8==．
当n=9或10时，第9及第10项的值最小为-28．