Question

已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A（0，2），离心率为
（1）求椭圆P的方程：
（2）是否存在过点E（0，-4）的直线l交椭圆P于点R，T，且满足•=．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设椭圆P的方程为 +═1 （a＞b＞0），由椭圆经过点A（0，2），离心率为，求得a和b的值，
从而求得椭圆P的方程．
（2）由 可得  x1+x2 和x1•x2 的值，可得y1•y2的值，根据 •=，求出k=±1，
从而得到直线l的方程．
【解析】
（1）设椭圆P的方程为 +=1 （a＞b＞0），由题意得b=2，=，
∴a=2c，b2=a2-c2=3c2，∴c=2，a=4，∴椭圆P的方程为：．
（2）假设存在满足题意的直线L．易知当直线的斜率不存在时，•＜0，不满足题意．
故设直线L的斜率为k，R（x1，y1），T（x2，y2 ）．∵•=，∴x1•x2+y1•y2=，
由 可得 （3+4k2 ）x2-32kx+16=0，由△=（-32k）2-4（3+4k2）•16＞0，
解得 k2＞  ①．
∴x1+x2=，x1•x2=，
∴y1•y2=（kx1-4 ）（kx2-4）=k2 x1•x2-4k（x1+x2）+16，
∴x1•x2+y1•y2=+-+16=，∴k2=1  ②，
由①、②解得 k=±1，∴直线l的方程为 y=±x-4，
故存在直线l：x+y+4=0，或 x-y-4=0，满足题意．