满分5 > 高中数学试题 >

已知数列{an}为等差数列,a3=5,a7=13,数列{bn}的前n项和为Sn,...

已知数列{an}为等差数列,a3=5,a7=13,数列{bn}的前n项和为Sn,且有Sn=2bn-1
(1)求{an}、{bn}的通项公式;
(2)若cn=anbn,{cn}的前n项和为Tn,求Tn
(3)试比较Tn与anSn的大小,并说明理由.
(1)直接利用a3=5,a7=13,列出关于首项和公差的等式,求出首项和公差即可求{an}的通项公式;再利用Sn=2bn-1及Sn-1=2bn-1-1可得bn=2bn-2bn-1,整理得是公比为2 的等比数列,再求出首项即可求{bn}的通项公式; (2)先整理出{cn}的通项公式,因为是一等差数列乘一等比数列组成的新数列,所以直接利用错位相减法求和即可; (3)对Tn与anSn作差整理得2(n+1-2n),再研究对应函数f(x)=x+1-2x(x≥1)的单调性求出其最值即可比较出Tn与anSn的大小. 【解析】 (1)∵{an}是等差数列,且a3=5,a7=13,设公差为d. ∴,解得 ∴an=1+2(n-1)=2n-1(n∈N*)(2分) 在{bn}中,∵Sn=2bn-1 当n=1时,b1=2b1-1,∴b1=1 当n≥2时,由Sn=2bn-1及Sn-1=2bn-1-1可得bn=2bn-2bn-1,∴bn=2bn-1 ∴{bn}是首项为1公比为2的等比数列 ∴bn=2n-1(n∈N*)(4分) (2)cn=anbn=(2n-1)•2n-1 Tn=1+3•2+5•22++(2n-1)•2n-1① 2Tn=1•2+3•22+5•23++(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n② ①-②得-Tn=1+2•2+2•22++2•2n-1-(2n-1)•2n = =1+4(2n-1-1)-(2n-1)•2n =-3-(2n-3)•2n ∴Tn=(2n-3)•2n+3(n∈N*)(8分) (3)Tn-anSn=(2n-3)•2n+3-(2n-1)(2n-1) =(2n-3)•2n+3-(2n-1)•2n+2n-1 =2n+2-2•2n =2(n+1-2n)(9分) 令f(x)=x+1-2x(x≥1),则f'(x)=1-2xln2 ∵f'(x)在[1,+∞)是减函数,又f'(1)=1-2ln2=1-ln4<0 ∴x≥1时,f'(x)<0 ∴x≥1时,f(x)是减函数. 又f(1)=1+1-2=0 ∴x≥1时,f(x)≤0 ∴x≥1时,x+1-2x≤0(13分) ∴n∈N*时,n+1-2n≤0 ∴n∈N*时,Tn≤anSn(14分)
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
椭圆manfen5.com 满分网(a>b>0)的一个顶点为A(0,3),离心率manfen5.com 满分网
(1)求椭圆方程;
(2)若直线ℓ:y=kx-3与椭圆交于不同的两点M,N,且满足manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,求直线ℓ的方程.
查看答案
已知函数manfen5.com 满分网
(1)若a=3,点P为曲线y=f(x)上的一个动点,求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程;
(2)若函数y=f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,试求a的取值范围.
查看答案
manfen5.com 满分网如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明:PA∥平面EDB;
(2)证明:PB⊥平面EFD.
查看答案
袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现一次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球
(Ⅰ)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果;
(Ⅱ)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5的概率.
查看答案
已知向量manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网
(1)当manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网时,求2cos2x-sin2x的值;
(2)求manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网上的值域.
查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.