Question

已知函数f（x）=ln（2+3x）+x²在x=处取得极值．
（1）求f（x）在[0，1]上的单调区间；
（2）若对任意的x∈[，]，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先判断函数的定义域，求函数的导数，根据当导数等于0时函数取到极值，求出m的值，再判断函数的单调性
（2）先求出函数的导数，再利用恒成立求a的取值范围
【解析】
（1）由题意得函数f（x）的定义域为{x|x＞-}，
f′（x）=+mx=，
又函数f（x）在x=处取得极值，
∴f′（）=0，即m=-3，
此时，f′（x）=．
∴在[0，1]上，当0≤x＜时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当＜x≤1，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴f（x）在x=处取得极大值．
∴f（x）在[0，1]上的单调递增区间为[0，]，单调递减区间为[，1]．
（2）∵f′（x）+3x=，
∴当x∈[，]时，ln[f′（x）+3x]∈[0，ln]（当且仅当x=时，ln[f′（x）+3x]=0）．
因此，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0恒成立的a的取值范围是（-∞，ln）∪（ln，+∞）．