Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=（a_n-1）（a为常数，且a≠0，a≠1，n∈N^*），数列{b_n}满足b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1+nb_n=yz{}^n-1-．
（1）求a_n与b_n的表达式；
（2）设c_n=（n+）bn，试问数列{c_n}有没有最小项？如果有，求出这个最小项；如果没有，请说明理由．

Answer

（1）由Sn=（an-1），知a1=a，．所以an=a•an-1=an．由b1+2b2+…+（n-1）bn-1+nbn=（n+10）•（）n-1-得：b1+2b2+…+（n-1）bn-1=（n+9）•（）n-2-（n≥2）．由此能求出bn．
（2），所以cn+1-cn=-（）n+（）n-1=•（）n-1．经分类讨论知c9、c8是数列的最小项且c8=c9=-（）7．
【解析】
（1）因为Sn=（an-1），
所以，当n=1时，a1=S1=（a1-1），解之得a1=a；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=an-an-1，即．
又a≠0，a≠1，所以数列{an}是等比数列．
所以an=a•an-1=an．
由b1+2b2+…+（n-1）bn-1+nbn=（n+10）•
（）n-1-得：b1+2b2+…+（n-1）bn-1=（n+9）•（）n-2-（n≥2）．
两式相减得nbn=（n+10）•（）n-1-（n+9）•（）n-2=-（）n-2．
故bn=-•（）n-1（n≥2），
当n=1时，b1=11-=-也符合上式，
故bn=-•（）n-1．
（2），
所以cn+1-cn=-（）n+（）n-1
=•（）n-1．
当n＞8时，cn+1＞cn，故c9＜c10＜，
当n=8时，cn+1-cn=0，故c9=c8，
当n＜8时，cn+1＜cn，故c1＞c2＞c3＞＞c8．
综上可得，c9、c8是数列的最小项且c8=c9=-（）7．