Question

已知点F₁（-1，0），F₂（1，0），动点A到点F₁的距离是2，线段AF₂的中垂线l交AF₁于点P．
（1）当点A变化时，求动点P的轨迹G的方程；
（2）过点F₁、F₂分别作互相垂直的两条直线分别与轨迹G交于点D、E和点M、N，试求四边形DMEN的面积的最大值和最小值．

Answer

（1）由题意可得，|PA|+|PF1|=2，及|PA|=|PF2|，从而有|PF1|+|PF2|=2，由椭圆的定义可知动点P的轨迹G的方程
（2）分别考虑求【解析】
当直线DE与x轴垂直时，四边形DMEN的面积为=4，；当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积为=4；当直线DE，MN与x轴均不垂直时，设直线DE的方程为y=k（x+1）（k≠0），代入椭圆方程，消去y，得（2+3k2）x2+6k2x+3k2-6=0．
设D点的坐标为（x1，y1），E点的坐标为（x2，y2），则根据|x1-x2|==，
可求|DE|=|x1-x2|=．，进而有四边形DMEN的面积•=，结合函数的单调性及基本不等式可求面积的最值
【解析】
（1）如图，|AF1|=2，
∴|PA|+|PF1|=2，
又∵|PA|=|PF2|，
∴|PF1|+|PF2|=2，
由椭圆的定义可知动点P的轨迹G的方程为+=1．
（2）当直线DE与x轴垂直时，|DE|=，
此时|MN|=2，四边形DMEN的面积为
=4，同理，当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积为=4．
当直线DE，MN与x轴均不垂直时，设直线DE的方程为
y=k（x+1）（k≠0），代入椭圆方程，消去y，得（2+3k2）x2+6k2x+3k2-6=0．
设D点的坐标为（x1，y1），E点的坐标为（x2，y2），
则∴|x1-x2|==，
∴|DE|=|x1-x2|=．
同理，
∴四边形DMEN的面积•=
令，得s=

∵∴当k=±1时，u=2，且S是以u为自变量的增函数，所以
综上可知，四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为