Question

已知椭圆C：，（a＞b＞0）的两焦点分别为F₁、F₂，，离心率．过直线l：上任意一点M，引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
（1）在圆中有如下结论：“过圆x²+y²=r²上一点P（x，y）处的切线方程为：xx+yy=r²”．由上述结论类比得到：“过椭圆（a＞b＞0），上一点P（x，y）处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）．
（2）利用（1）中的结论证明直线AB恒过定点（）；
（3）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．

Answer

（1）由过圆上一点的切线方程，我们不难类比推断出过椭圆上一点的切线方程．
（2）由（1）的结论，我们可以设出A，B两点的坐标，列出切线方程，又由M为直线l：上任意一点，故可知M为两条切线与l的公共交点，消参后即得答案．
（3）由（2）中结论，我们可得M点的坐标，根据l的方程我们可以计算出AB边上的高，再由弦长公式计算出AB的长度，代入三角形面积公式即可．
【解析】
（1）类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：
过椭圆（a＞b＞0），上一点P（x，y）处的切线方程为．
（2）由，离心率
得，a=3∴b=1
∴椭圆C的方程为：
l的方程为：
设A（x1，y1），B（x2，y2），M的纵坐标为t，即，
由（1）的结论
∴MA的方程为
又其过点，
∴
同理有
∴点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线上；
当，y=0时，方程恒成立，
∴直线AB过定点
（3）t=1∴消去y得，
∴，x1x2=0，

∴．