Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且．
现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2

（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）求点D到平面BEC的距离．

Answer

（1）欲证AM∥平面BEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AM与平面BEC内一直线平行，取EC中点N，连接MN，BN，根据中位线定理和条件可知MN∥AB，且MN=AB，从而得到四边形ABNM为平行四边形，则BN∥AM，BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，满足定理所需条件；
（2）欲证BC⊥平面BDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面BDE内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知ED⊥平面ABCD，则ED⊥BC，根据勾股定理可知BC⊥BD，满足定理所需条件；
（3）过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC，从而点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度，在直角三角形BDE中，利用等面积法即可求出DG，从而求出点D到平面BEC的距离．
【解析】

（1）证明：取EC中点N，连接MN，BN．
在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，
所以MN∥CD，且．
由已知AB∥CD，，
所以MN∥AB，且MN=AB．（3分）
所以四边形ABNM为平行四边形．
所以BN∥AM．（4分）
又因为BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，
所以AM∥平面BEC．（5分）
（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．（7分）
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得．
在△BCD中，，
所以BD2+BC2=CD2．
所以BC⊥BD．（8分）
所以BC⊥平面BDE．（10分）
（3）由（2）知，BC⊥平面BDE
又因为BC⊂平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC．（11分）
过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC
所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度（12分）
在直角三角形BDE中，

所以
所以点D到平面BEC的距离等于．（14分）