Question

执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为a₁，a₂，…，a_n，n∈N*，n≤2011．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）

（1）若输入，写出输出结果；
（2）若输入λ=2，令，证明b_n是等差数列，并写出数列a_n的通项公式；
（3）若输入，令，T=c₁+2c₂+3c₃+…+2011c₂₀₁₁．求证：．

Answer

（1）根据程序框图循环结构图直接可以判断当λ=时的输出结果，（2）结合题干条件求证bn+1-bn是一个常数，即可求出数列an的通项公式，（3）首先证明cn是等比数列，然后根据等比数列求和公式求出Tn，最后进行大小比较．
【解析】
（1）输出结果为0，，．（4分）
（注：写对第一个数给（1分），写对二个数得（2分）．）
（2）当λ=2时，===-1（常数），
n∈N*，n≤2010．
所以，bn是首项b1=-1，公差d=-1的等差数列．（6分）
故bn=-n，，数列an的通项公式为，n∈N*，n≤2011．（9分）
（3）当时，，，（11分）
∴cn是以为首项，为公比的等比数列．Tn=c1+2c2+3c3++n•cn=
两式作差得
即∴（13分）
当n=2011时，（14分）