Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点，连接DE，DF，EF．
（1）求证：平面DEF∥平面ABC；
（2）若PA=BC=2，当三棱锥P-ABC的体积的最大值时，求二面角A-EF-D的平面角的余弦值．

Answer

（1）由已知中D、E分别是棱PA、PB的中点，根据三角形中位线定理，我们可以得到DE∥AB，由线面平行的判定定理可得DE∥平面PAB，同理可证DF∥平面PAB，进而由面面平行的判定定理，我们可得平面DEF∥平面ABC；
（2）若PA=BC=2，当三棱锥P-ABC的体积的最大值时，我们可得AB=AC=，此时二面角A-EF-D有两种方法：
①几何法：作DG⊥EF，垂足为G，连接AG，则∠AGD是二面角A-EF-D的平面角，解△AGD即可求出二面角A-EF-D的平面角的余弦值．
②向量法：分别以AB、AC、AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，分别求出平面AEF与平面DEF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角A-EF-D的平面角的余弦值．
【解析】
（1）证明：∵D、E分别是棱PA、PB的中点，
∴DE是△PAB的中位线，∴DE∥AB，
∵DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴DE∥平面ABC，…（2分）
同理DF∥平面ABC
∵DE∩DF=D，DE⊂平面DEF，
DF⊂平面DEF，
∴平面DEF∥平面ABC．…（4分）
（2）求三棱锥P-ABC的体积的最大值，给出如下两种解法：
解法1：由已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，PA=BC=2，
∴AB2+AC2=BC2=4，
∴三棱锥P-ABC的体积为
=．
当且仅当AB=AC时等号成立，V取得最大值，其值为，此时AB=AC=．
解法2：设AB=x，在△ABC中，（0＜x＜2），
∴三棱锥P-ABC的体积为=…（6分）
=，
∵0＜x＜2，0＜x2＜4，∴当x2=2，即时，V取得最大值，其值为，此时AB=AC=．…（8分）
求二面角A-EF-D的平面角的余弦值..，给出如下两种解法：
解法1：作DG⊥EF，垂足为G，连接AG，
∵PA⊥平面ABC，平面ABC∥平面DEF，∴P A⊥平面DEF，
∵EF⊂平面DEF，∴P A⊥EF．
∵DG∩PA=D，∴EF⊥平面PAG，AG⊂平面PAG，∴EF⊥AG，
∴∠AGD是二面角A-EF-D的平面角．…（10分）
在Rt△EDF中，DE=DF=，，∴．
在Rt△ADG中，，
∴．
∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值为．…（14分）
解法2：分别以AB、AC、AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），D（0，0，1），E（，0，1），
F（0，，1）．∴．…（9分）
设为平面AEF的法向量，
则，
即，令，则，z=-1，
∴为平面AEF的一个法向量．…（11分）
∵平面DEF的一个法向量为，
∴，…（13分）
而与所成角的大小等于二面角A-EF-D的平面角的大小．
∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值为．…（14分）．