Question

如图，直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°AB=2AD=2CD=2．
（1）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）在A₁B₁上是否存一点P，使得DP与平面BCB₁与平面ACB₁都平行？证明你的结论．

Answer

（1）为证AC⊥平面BB1C1C，须证AC垂直面内两条相交直线：BB1和BC即可．前者易证，后者利用计算方法证明即可．
（2）设P为A1B1的中点，证明DCB1P为平行四边形，即可证明存在点P，满足题意．
证明：（1）直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC．（2分）
又∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2，
∴，∠CAB=45°，∴，∴BC⊥AC．（4分）
又BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C．（7分）

（2）存在点P，P为A1B1的中点．（8分）
证明：由P为A1B1的中点，有PB1‖AB，且PB1=AB．（10分）
又∵DC‖AB，DC=AB，∴DC∥PB1，且DC=PB1，
∴DCB1P为平行四边形，从而CB1∥DP．
又CB1⊂面ACB1，DP⊄面ACB1，∴DP‖面ACB1．（12分）
同理，DP‖面BCB1．（14分）