Question

如图，直线y=kx+b与椭圆=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．
（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．

Answer

（Ⅰ）设出点A，B的坐标利用椭圆的方程求得A，B的横坐标，进而利用弦长公式和b，求得三角形面积表达式，利用基本不等式求得其最大值．
（Ⅱ）把直线与椭圆方程联立，进而利用弦长公式求得AB的长度的表达式，利用O到直线AB的距离建立方程求得b和k的关系式，求得k．则直线的方程可得．
【解析】
（Ⅰ）设点A的坐标为（x1，b），点B的坐标为（x2，b），
由，解得，
所以=≤b2+1-b2=1．
当且仅当时，S取到最大值1．

（Ⅱ）【解析】
由
得，①
△=4k2-b2+1，
=．②
设O到AB的距离为d，则，
又因为，
所以b2=k2+1，代入②式并整理，得，
解得，，代入①式检验，△＞0，
故直线AB的方程是或或，或．