Question

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0； 
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，并且称f（x）为“友谊函数”，
请解答下列各题：
（1）若已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？并给出理由．
（3）已知f（x）为“友谊函数”，且 0≤x₁＜x₂≤1，求证：f（x₁）≤f（x₂）．

Answer

（1）直接取x1=x2=0利用f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）可得：f（0）≤0，再结合已知条件f（0）≥0即可求得f（0）=0；
（2）因为g（x）=2x-1在[0，1]上满足①g（x）≥0；②g（1）=1，所以只须证其满足条件③即可，因为有=．故成立．
（3）由0≤x1＜x2≤1，则0＜x2-x1＜1，故有f（x2）=f（x2-x1+x1）≥f（x2-x1）+f（x1）≥f（x1），即得结论成立．
【解析】
（1）取x1=x2=0
得f（0）≥f（0）+f（0），
又由f（0）≥0，得f（0）=0
（2）【解析】
显然g（x）=2x-1在[0，1]上满足①g（x）≥0；②g（1）=1
若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，
则有=．
故g（x）=2x-1满足条件①﹑②﹑③
所以g（x）=2x-1为友谊函数．
（3）【解析】
因为0≤x1＜x2≤1，则0＜x2-x1＜1，
所以f（x2）=f（x2-x1+x1）≥f（x2-x1）+f（x1）≥f（x1）
故有f（x1）≤f（x2）．