Question

已知定义在正实数集上的函数f（x）=x²+4ax+1，g（x）=6a²lnx+2b+1，其中a＞0．
（Ⅰ）设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x），证明：若，则对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂有．

Answer

（I）先求在公共点处的切线方程，只须分别求出其斜率的值，利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．利用两个斜率相等得到等式，从而用a表示b．最后再利用导数的方法求b的最大值即可，研究函数的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值．
（II）不妨设x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，变形得h（x2）-8x2＞h（x1）-8x1令T（x）=h（x）-8x，接下来利用导数研究它的单调性即可证x1＞x2命题成立．
【解析】
（Ⅰ）设f（x）与g（x）交于点P（x，y），则有f（x）=g（x），
即x2+4ax+1=6a2lnx+2b+1（1）
又由题意知f'（x）=g'（x），即（2）（2分）
由（2）解得x=a或x=-3a（舍去）
将x=a代入（1）整理得（4分）
令，则h'（a）=2a（1-3lna）时，
h（a）递增，时h（a）递减，所以h（a）
即b≤，b的最大值为（6分）

（Ⅱ）不妨设x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，，
变形得h（x2）-8x2＞h（x1）-8x1
令T（x）=h（x）-8x，，
∵，
∴，
T（x）在（0，+∞）内单调增，T（x2）＞T（x1），同理可证x1＞x2命题成立（12分）