Question

随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．
（1）求ξ的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

Answer

（1）由题意知，ξ的所有可能取值有6，2，1，-2，利用概率的公式分别求出它们的概率，列成表格即得；
（2）为了1件产品的平均利润，只须利用数学期望公式计算出数学期望值大小即可；
（3）设技术革新后的三等品率为x，再算出用x表示的此时1件产品的数学期望值，列不等关系解不等式即可．
【解析】
ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；，，
故ξ的分布列为：
ξ 6 2 1 -2
P 0.63 0.25 0.1 0.02

（2）Eξ=6×0.63+2×0.25+1×0.1+（-2）×0.02=4.34
（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E（x）=6×0.7+2×（1-0.7-0.01-x）+1×x+（-2）×0.01=4.76-x（0≤x≤0.29）
依题意，E（x）≥4.73，即4.76-x≥4.73，解得x≤0.03所以三等品率最多为3%